역함수 관계 도함수 질문!

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두 도함수가 역함수 관계에 있으면 각각의 부정적분은 어떻게 될까요??ㅠ

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qkrtjdud [401769]

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syzy · 418714 · 12/12/30 20:44 · MS 2012

글쎄요.. 원 함수를 f라 하고, f의 부정적분 F, f역함수의 부정적분을 G 라고 하면

( F(x) - F(0) ) + ( G(f(x)) - G(0) ) = xf(x)

성립하는 것 말고는 잘 모르겠습니다.

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qkrtjdud · 401769 · 12/12/30 21:50 · MS 2012

ㅠㅠ무슨 말인지 모르겠어요ㅠㅠ좀만 자세히 설명...부탁드립니다.

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헬리르 · 407769 · 12/12/31 00:42 · MS 2012

syzy 님이 아시는데 오타 나신것 같아요. G(0)이 아니구요 G(f(x))예요.
자세히 보시면 별것 아니구 앞에 F 두개는 f의 0부터 x까지의 정적분이구 뒤의 두개는 f의 역함수 g의 정적분이죠.
두 개를 더해보면 사각형 넓이인 xf(x)가 나오게되죠.

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syzy · 418714 · 12/12/31 08:52 · MS 2012

아 감사합니다^^

식 다시 쓰면 ( F(x) - F(0) ) + ( G(f(x)) - G(f(0)) ) = x f(x). (f의 정의역이 0 을 포함할 때)

헬리르님 말씀처럼 원함수 f 그림 그려보시고, 그 역함수도 그려보신 후,

f 를 0~x까지 적분한 것 + f의 역함수를 f(0)~f(x)까지 적분한 것

이 직관적으로 무엇인지 살펴보면 됩니다. y=x 에 대한 대칭을 적절히 이용하면 이 넓이의 합이 두 변의 길이가 각각 (x-0) , (f(x)-0) 인 직사각형의 넓이가 되므로 x f(x)임을 알 수 있습니다. (혹은 적분이 음수가 되는 경우에는 적절히 넓이에 - 부호 붙여서 증명할 수 있고요.)

만약 정의역에 0이 없다면, 정의역의 임의의 두 원소 x,y에 대해
( F(x) - F(y) ) + ( G(f(x)) - G(f(y)) ) = x f(x) - y f(y) .
(정의역에 0이 있을 때에는 위 첫식에서, x 대신 y 대입한 식을 뺀 것으로 볼 수 있습니다.)

혹시 이 개념이 생소하시면 굳이 위 식들을 이해하려 하지 마시고, 원함수의 적분 및 역함수의 적분 사이 관계에 해당하는 예제를 통해 이해하시는 게 좋을 거 같다는 생각이 듭니다.

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qkrtjdud · 401769 · 12/12/31 20:43 · MS 2012

아ㅋㅋ감사합니다!

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헬리르 · 407769 · 12/12/31 00:46 · MS 2012

수능 과정까지는 별 관련성이 그래프에서 나타난다고는 하기 어렵네요. 그냥 수식 나올 때는 그 상황마다 알맞게 적분, 미분 하면서 풀면서 관계 추론하시면 될듯해요.

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qkrtjdud · 401769 · 12/12/31 20:43 · MS 2012

감사합니다!!ㅋㅋ

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