[칼럼] 도형에 대한 기본적인 생각
안녕하세요.
오늘은 수학 칼럼입니다. 주로 2~3등급 이하 학생 분들이 보셨으면 좋겠습니다.
상위권 분들은 도형에 약하시다면 가볍게 봐주세요..!
도형에 대해 떠오르는 것이 있어 간단하게만 정리해보려 합니다.
도형 문제는 어느 정도 풀이가 정해진 측면이 있습니다.
물론 수학을 잘 하시는 분은 워낙 많고, 간결한 풀이와 정말 기발한 풀이가 넘쳐 나지만
그럼에도 일반적인 관점에서 도형은 해야 할 것들이 고정되어 있는 편입니다.
다시 말해 2~3등급 분들이 지금 당장
수학 칼럼을 쓰시는 독존님이나 악어새님 등등..처럼 될 수는 없어도
저만큼은 하실 수 있을 겁니다.
전 문과거든요
도형 문제 학습에 있어서 가장 큰 애로 사항은,
"답지를 보면 알겠는데 어떻게 떠올려야 하지?"가 아닐까 싶습니다.
더군다나 답지를 본다고 실력이 확실히 느는 것도 아니고..
누군가 '이유'를 설명해줬으면 했습니다.
1. 삼각함수 값 하나를 준다면, 그건 모든 정보를 제시한 것이다.
제가 좀 헤매던 부분 중 하나입니다.
sin법칙과 cos법칙을 따로따로 물어보면
외접원 주니까 sin, 세 변 or 두 변과 끼인 각 주니까 cos
이런 식으로 쉽게 처리할 수 있었습니다. 이게 딱 쉬운 삼각함수 3점 문제겠죠.
그런데 조금만 어려워져도, 여기서는 sin, 저기서는 cos, 썼다가 안 썼다가 뭐 어쩌라는 건지 알 수가 없었습니다.
그런데 알면서도 활용하지 못했던 것이 있었다는 걸 어느 순간에 알게 되었죠.
하나의 삼각함수 값만 줘도, 적어도 삼각형 안에서는 모든 삼각함수 값을 다 준 것이나 다름 없습니다.
sin값을 줘도 cos값을 구할 수 있고, 그 반대도 마찬가지이죠.
그러니까
"sin값을 제시했지만 cos법칙을 활용하려면 값을 이리저리 바꿔야 한다!" 이게 아니고
애초부터 삼각함수 값은 다 주어져 있었다는 겁니다.
문제로 보겠습니다.
여기서는 sin BCD만 주었지만, 사실상 cos값도 같이 준 것이겠죠.
정말 당연한 이야기인데, 이걸 의도적으로 생각하고 풀면 안 보이던 게 보이기 시작합니다.
2. 보조선은 보조선을 긋기 위해 존재하는 것이 아니다.
이건 정말 중요한 이야기라고 생각합니다.
학생들을 가르치다 보면 '보조선을 긋는 것 자체'에 매달리는 경우가 많습니다.
하지만 보조선의 의미는 그런 데 있는 것이 아닙니다.
문제로 살펴보겠습니다.
이 문제의 마지막에서 저는 cos값을 찾으려고, 그리고 sin값을 찾으려고
그러니까 '직각삼각형을 만들기 위해' 보조선을 그었습니다.
2-1. 삼각형에서의 삼각함수 값을 활용할 생각도 해야 한다.
보조선과 연결되는 이야기인데
보통 sin, cos, tan의 정의 그대로를 기억하거나,
sin법칙, cos법칙 그 자체만 생각하는 경우가 많습니다.
그러나 우리가 중학교 때 배웠던 것처럼
삼각형에서의 삼각함수도 구할 줄 알아야 합니다.
피타고라스 정리와 연계되는 경우가 많죠.
위에 나온 문제에서도 마찬가지입니다.
3. 변형 공식은 암기해둘 필요가 있다.
sin법칙에서 나오는 공식이 았습니다.
저는 다음 세 가지 공식을 모두 외우고 있습니다.
cos법칙에서 나오는 공식이 있습니다.
저는 다음 두 가지 공식을 모두 외우고 있습니다.
워낙 문제를 많이 풀고,
또 수학 실력이 뛰어나서 안 외우고도 자유자재로 전환이 되는 사람은 모르겠지만
(사실 그런 사람도 머리 속에 이미 '외워져' 있는 거겠죠.)
일반적인 학생들은 "아니 누가 변형 공식을 무식하게 외움? 그냥 현장에서 식 변형하면 되지."
라는 생각을 많이 합니다.
그렇지만 이런 문제들이 나왔을 때 보자마자 풀이가 시작되려면
체화의 과정도 분명 필요할 겁니다.
삼차함수 비율 관계를 현장에서 증명하지 않는 것과 비슷한 맥락이라고 생각합니다.
특히 cos 공식 같은 경우, 저는 두 번째 공식을 훨씬 더 많이 쓰는 거 같네요.
솔직하게, '반드시' 암기해둘 필요가 있다고 말하고 싶습니다.
최상위권이 아닌 이상 머리 속에 넣어두지 않으면 바로 꺼내 쓰기는 어렵다고 생각합니다.
당연한 이야기이지만, 암기에 앞서 이해는 필수입니다.
4. '나만의 말'로 여러 가지 도구를 정립해두자.
많이 얘기했던 부분입니다.
'같은 cos값을 다른 삼각형에서 활용하기', '각을 넘기면 cos은 마이너스' 등
문제에 곧바로 써먹을 수 있도록
관련 개념을 나만의 말로 다듬어 놓는 것이 좋습니다.
5. 삼각형의 변과 각에 대한 명칭
이건 그렇게 중요한 건 아닌데
쉬운 문제에서 삼각형을 매번 그림으로 그려가며 푸는 학생들이 있어 간단하게만 넣겠습니다.
다들 배웠던 내용일 겁니다.
문제에서는 이런 식으로 활용될 수 있겠네요. 3번 파트에서도 똑같이 썼었죠.
더 생각나는 것도 있지만 기본적인 건 이 정도인 듯합니다.
읽어주셔서 감사합니다.
유익하게 보셨다면 좋아요 + 팔로우 부탁드립니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
어떤 일이 벌어질까요? 그리고 다시 돌아올 가능성은 아예 없을까요? 저는 상대평가...
-
동생 과외하는중 5
오랜만에 공부하니까 재밌네
-
ㅈㄱㄴ
-
얼굴은 까기 좀 그래서 손 보여줬잖아
-
어짜피 현역으로 갔어도 못할 확률이 큼 나처럼ㅇㅇ
-
둘다 거의 무조건 붙고 글제는 최초합이라 100만원줘요(어짜피 문과치고 등록금이...
-
근데 이건 무조건 노트북 아닌가요 (노트북 필수 패드 선택) 무거운 프로그램 돌릴...
-
과연
-
진짜 제발로요
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
나중(?)에 봐요
-
팜하니 프사 강해린 프사 김민지 프사 송우기 프사 오해원 프사
-
5-60명 뽑는 학과 지원했는데 4칸 나왔습니다 서치해보니 진학사 4칸부터는...
-
응...............
-
진학사는 6칸이였는데 막상 정시 점수 공개 들어가보니 공개한 사람들 대비 제 등수가...
-
좀 틀딱처럼 보이고싶어서 안경하나 맞출예정임
-
대학전쟁2 의외의 사실 15
출연자 중 오르비언이 있다
-
고추빨고싶다 6
초록고추 빨간색으로 염색하고싶다의 준말입니다
-
EBS에서는 1월 9일날 표지 발표된다고 하는데 지금 커뮤니티에서 떠돌고 있는 표지가 획정인가요?
-
유난히 추합 안 돌았던 이유 아시나요..? 군은 그대로던데
-
사탐런 하시면 과를 인문계로 가실텐데 그럼 자기 직업을 인문계쪽으로 아예 가시는건가요
-
아마 내일 올라갈 듯요 이번 거는 "유명한 개념"이 포함돼있으니 1편보다는 반응이...
-
아십 0
아 왜 나는 항상 이럼 빨리 대학공부나하고싶노 하……
-
기억이 잘안나는데 대충 이런 선지가 있었는데요 feel soical pressure...
-
지문밑메 뜻안보여줌???
-
1학년 복학 1
친구 어케 사귀나요......................엇학기 2학기 복학입니다...
-
안녕하세요 경희대 걍입니다
-
바지물 0
?
-
엄마가 자꾸 코 수술 권유하시네요...
-
쎈발점•워크북 끝내고 바로 뉴런 대가리 박치기 가능한가요 1
예비고2 겨울방학에 수1 쎈발점 워크북 끝내면 바로 뉴분감 대가리 박치기...
-
우선 본인은 사복과 한학기 다니다가 반수한 사람임 전과자 다른 영상들 봐도 댓글에서...
-
시대인재 지1 서바 28회 빠답 있으신 분 계신가요 1
2025학년도 시대인재 서바 지1 28회 풀려고 하는데 해설지 잃어버렸는지...
-
오전 2시간 반~3시간 점심식사 이후 3시간 반~4시간 저녁식사 이후 1시간...
-
수학 다른단원은 안그런데 공간도형 풀때는 머리 타들어가는 느낌들면서 몰입이 쫙...
-
1학년은 자전으로 들어가고 학점 3.0만 넘어도 원하는 학과 프리패스라 전자...
-
ㅇㅇ
-
10명만 써드림
-
컨셉 확실히 잡고 가야겠디?
-
뭔가 건강해지는 느낌임 속도 좋아지는 거 같고 뭔가 건강해지는 거 같아
-
뭔가 이상하다 생각하셨다면 그건 2차창작을 애니로 착각하셔서 일꺼에요
-
헤어짐 5
곧 600일인데 헤어짐 여태 전에도 학업 때문에 서로 트러블 많이 생겼는데 이제...
-
어떻게사람이성적변화가 ㅋㅋ
-
백호 샹크스 스킬강의만 40강이고 한종철 철철로직 스킬강의가 24강이더라고요 서로...
-
응? 말을 해봐
-
일단 25수능 백분위 97이고요 과외도 고민은 해봤는데 남 가르칠 정돈가 싶어서...
-
오잉
-
1. 하루 대략적인 스케줄 2. 공부시간 3. 그렇게 열심히 공부할 수 있었던...
-
괴근 ㅇㅈ 3
예쁘죠 못생겼다고하면차단
-
이번달부터 독재다니면서 매일 12시간씩 하는중 수능전까지 매일12시간 한다는 가정...
-
오랜만에 이미지 45
써드림뇨
선 좋아요 후 감상
수학 허수에게 너무나 좋은.. 여러번 봐야지
존경합니다4번은 도형은 물론 수학할 때 되게 중요한 마인드인 것 같네요
작년 9평 14번 ㄱㄴㄷ 문제에서도 식만 보면 되게 거창해보이는데 그냥 ‘(p,f(p))를 원점으로 옮겨’ 라고 번역만 하면 문제의 난이도가 한결 수월해지는 것처럼요
작년 9평 22번 평균변화율 극한식에서도 그렇고 특히나 함수 문제나 도형문제에서 포장지 한겹 쌓인둣한 문제가 많아진 것 같아요
제가 국어 가르칠 때도 쓰는 말이고 영어에서도 씁니다.결국 자기가 얼마나 이해를 해두었느냐가 되게 중요한 거 같아요
다음에는 나만의 말 칼럼을 한 번..ㅎㅎ
좋은 칼럼 감사합니다! 근데 한 가지 실수가 있어서요 1번 내용에서 선분 BC 길이 구할 때 2sqrt21을 2sqrt2로 쓰셨어요
감사합니다. 수정했습니다!이건 제 개인적인 팁이면서도 하나의 기본기인데 삼각형 결정조건과 그에 따른 삼각형의 해법(삼각형의 모든 내각의 크기,변의 길이를 구하는 법)은 모두 암기해두는게 좋습니다. 이때 삼각형을 풀고 싶으면 복잡하게 사인법칙이나 코사인법칙을 활용하는 것 보단 적당히 수선의 발을 내리는 풀이가 간편한데 이건 본인이 직접 모든 케이스들을 그려보면서 어떻게 수선을 내려야 풀리는지 연구해봐야 합니다. 예를들어 변이 세개 주어지면 세 내각은 모두 코사인법칙으로 구할 수 있고, 내각이 두 개 주어진 경우 세 내각이 주어진 것과 동치이므로 아무 변이나 하나 알면 삼각형이 결정됩니다. 이때는 수선의 발을 적당히 내리면 삼각형이 무조건 풀립니다.(안 풀리면 보조선을 잘못 그은 것입니다.) 내각 하나,변 두 개인 경우 끼인각이면 코사인 법칙을, 끼인각이 아니면 수선의 발을 내려서 풀면 됩니다. 끼인각이 아닌 경우 원칙적으로 삼각형이 결정되지 않고 두 개의 케이스가 존재하지만 보통 도형문제에서는 그림이 주어지므로 그림 상에서 수선의 발을 내려보면 삼각형이 결정됩니다. (삼각형이 예각삼각형인지,둔각삼각형인지로 케이스가 갈리기 때문에 그렇습니다.)
맞아요. 이번 13번에서도 루트10 구하는거
코사인법칙으로 다들 풀었던데 수선만 내리면 특수각이라 1:1:루트2 눈으로 봐도 나오죠..
칼럼 써주세요 선생님..!사실 의외로 도형이 제일 발상적인 그런게 적은듯
시키는 대로만 슥슥하면.. 애들이 기하 하도 어려워해서 일부러 쉽게 내는걸수도 있긴한데
적분은 진짜 어려운 논술문제 같은거 보면 이걸 이렇게 치환해? 이런게 아직 잘 안보여요 ㅜㅜ
깨달으면 다른 고난도에 비해서 상대적으로 쉬운 편인 거 같긴 해요진짜 어려운 문제는 도저히 못 풀겠지만..