[수2 자작 문제] 절댓값 직선, 곱함수의 미분가능성
글씨 못 알아보실까봐 타이핑도 해둘게요 ㅋㅋㅋㅋ
f(x): 최고차항의 계수가 3인 사차함수
g(x)=ㅣ3x-7ㅣ+ 시그마 k=1 부터 3까지 ㅣx-kㅣ
함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때 f(4)의 값을 구하라
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30?
30, 정답!
이거 혹시 그냥 1,2,3,7/3이 실근임?
논리적으로 풀이를 완성해보시죠!
저 절댓값 경계인 지점 제외 모두 미분가능
미가 * 미가 = 미가 보장
그럼 절댓값 경계인 지점에서 중근 이상 가져야 미분가능할테니 (좌미분계수와 우미분계수가 같아지려면 모두 0이어야 하므로)
f는 7/3 1 2 3 단일근 갖는 함수
'그럼 절댓값 경계인 지점에서 중근 이상 가져야 미분가능할테니 (좌미분계수와 우미분계수가 같아지려면 모두 0이어야 하므로)' 부분만 제 말대로 다시 표현해보자면
함수 f(x)g(x)의 미분가능성을 따지려면 곱함수 미분법 증명과정 때처럼 분자에 f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)에서 f(x+h)g(x)를 빼고 더해주는 과정이 필요합니다. 이를 통해 가보면 식을 f(x+h)*[g(x+h)-g(x)]/h+g(x)*[f(x+h)-f(x)]/h로 변형할 수 있습니다. 이때 함수 f(x)는 실수 전체 집합에서 미분가능하므로 [f(x+h)-f(x)]/h의 h->0 일 때의 극한은 모든 실수 x에 대해 항상 존재하지만 함수 g(x)의 경우 x=1, x=2, x=7/3, x=3일 때 직접 계산해보거나 그래프를 통해 파악해보면 미분계수가 존재하지 않으므로 이 네 가지 상황에서 문제가 발생함을 알 수 있습니다.
f(x+h)*[g(x+h)-g(x)]/h+g(x)*[f(x+h)-f(x)]/h 얻은 이 식에서 lim를 분배해 f(x)g(x)가 미분 가능하도록 하려면 각각의 상황에서 f(x+h)가 0으로 가야 h->0+와 h->0-을 따질 때 [g(x+h)-g(x)]/h의 극한이 서로 다른 값으로 수렴해도 f(x+h)가 0으로 수렴하기 때문에 문제가 되지 않고 g(x)*[f(x+h)-f(x)]/h가 g(x)f'(x)로 수렴하여 f(x)g(x)의 미분계수가 존재함을 확인할 수 있습니다.
따라서 각 상황에서 f(x)=0이고 이를 인수 정리에 따라 식을 작성해보면 f(x)=(x-1)(x-2)(3x-7)(x-3)임을 알 수 있습니다. 따라서 f(4)=3*2*5*1=30, 답은 30입니다.
Bumicomin'atya 님의 댓글을 빌려 해설 및 제 생각을 남깁니다!
추가로 g(x)처럼 절댓값 함수들의 합인데 다 직선일 때는 x=1, x=2, x=7/3, x=3처럼 꺾이는 때의 점만 찍어두고 사이를 모두 직선으로 이은 후 x<1, x>3일 때만 기울기를 계산해주어도 그래프를 그리는 데에 무리가 없습니다. 어차피 절댓값을 씌웠어도 다 직선이기 때문에 g(x)도 결국 직선으로 구성된 그래프를 띌 것임을 추측할 수 있기 때문입니다. 이는 22 한완수 수1/수2 하 첫 부분에 소개된 내용입니다.
곱함수의 미분가능성의 경우 대부분의 수능 강사 분들이 가르치는 것으로 알고 있는데 엄밀한 증명은 제 글 목록 중에 수2 개념 정리 글을 확인하시면 좋을 것 같습니다. 확인해보시면 증명 과정으로부터 알 수 있듯이 미분불가능한 함수가 미분불가능한 이유가 평균변화율의 우극한과 좌극한이 각각은 존재하지만 서로 같은 값으로 존재하지 않기 때문임을 알 수 있습니다. 즉, 이럴 때만 이 문제에 사용된 곱함수의 미분가능성을 활용할 수 있고 그렇지 않은 경우 (평균변화율의 좌/우극한 중 존재하지 않는 것이 있거나 등...) 에는 미분계수의 정의를 활용해 따로 또 확인해야함을 알립니다.
절댓값함수가 꺾일때 f가 0
맞습니다! N축근사로피탈테일러급수배성민의정리함수 님의 댓글을 빌려 출제 의도를 추가로 남기자면 다음과 같습니다.
절댓값 함수의 경우 '절댓값 안이 0이 될 때'를 기준으로 경우 분류하는 것이 기본 자세입니다. 즉, 이 문제의 g(x)의 경우 x<1, 1<=x<2, 2<=x<7/3, 7/3<=x<3, x>=3 총 다섯 가지 경우에 대해 g(x) 식을 작성한 후 f(x)g(x)에 대해 생각하는 것이 정석입니다. 따라서 이 문제를 공부하시는 분들 모두 직접 g(x) 식을 구간 별로 작성해보시기를 권해드립니다.
하지만 g(x)의 경우 절댓값 내부가 모두 직선이고 서로 합(차)으로 구성되었기 때문에 경곗점들만 찍어두고 사이사이를 직선으로 연결해도 그래프를 얻을 수 있습니다. 이유는 직선에 절댓값을 씌워도 직선이기 때문에 (기울기가 0이어도 상수함수로서 직선의 그래프를 띄기 때문에) 이렇게 생각해도 괜찮습니다. 뭐 근데 이 문제에서 핵심은 이건 아니고 결국 그 경계들에서 g(x)가 '평균변화율의 우극한, 좌극한은 각각 존재하지만 서로 같은 값으로 존재하지 않아 미분가능하지 않은 상황'이라는 것이 핵심입니다.
이후는 위에 Bumicomin'atya 님 댓글에 제가 남긴 답글을 참고해주시면 공부하는 데에 도움이 되지 않을까 싶습니다!
넵 맞습니다 ㅎㅎ 저도 사실 증명은 엄밀히 해놓은 상태에서 그 사고흐름대로 중근을 가져야 한다! (어쨋든 좌미 우미 둘다 0) 라고 풀이한거에요 ㅎㅎ
이렇게 엄밀하게 접근하시는분 있어서 저는 되게 반갑네요
그러셨을 것 같았어요 ㅋㅋㅋㅋ 그치만 대부분의 이 글을 읽을 수험생 분들 중에 엄밀한 증명 없이 결과만 기억해두신 분들이 많을 것 같아서 댓글을 빌려 추가적인 서술을 남겨뒀습니다
사실 엄밀하게 접근하는 공부를 많이 접해야 처음에는 힘들더라도 갈수록 수학 실력이 빠르고 단단하게 오른다 느껴서 모두 이렇게 공부해보면 좋겠는데 현실은 다들 증명은 제쳐두고 스킬 익혀 n제 풀이량 늘리기에만 집중하는 것 같아서 아쉽네요 ㅋㅋㅋㅠ
(가)에 의해 함수 g는 g(x) = 6x - 13 (x > 7/3), 1 (3 < x ≤ 7/3), -2x + 7 (2 < x ≤ 3), -4x + 11 (1 < x ≤ 2), -6x + 13 (x ≤ 1)와 같이 구간별로 정의된다.
따라서 함수 g(x)는 x = 1(좌미계 -6 우미계 -4), 2(좌미계 -4 우미계 -2), 3(좌미계 -2 우미계 0), 7/3(좌미계 0 우미계 6)에서 미분불가능하다.
함수 f(x)g(x)가 ℝ에서 미분가능하므로, 임의의 a ∈ ℝ에 대하여 lim x->a+ (f(x)g(x) - f(a)g(a))/(x - a)와 lim x->a- (f(x)g(x) - f(a)g(a))/(x - a)가 존재하고 그 값이 같음을 보이면 충분하다. — (ㄱ)
이때 g(x)는 x = 1, 2, 3, 7/3에서 미분불가능하므로 우선 a = 1인 경우를 살펴보면, lim x->1- (f(x)g(x) - f(1)g(1))/(x - 1) = lim x->1- ((-6x + 13)f(x) - 7f(1))/(x - 1) = -6f(1) + 7f'(1), lim x->1+ (f(x)g(x) - f(1)g(1))/(x - 1) = lim x->1+ ((-4x + 11)f(x) - 7f(1))/(x - 1) = -4f(1) + 7f'(1)이다.
(ㄱ)에 의해 -6f(1) + 7f'(1) = -4f(1) + 7f'(1), 2f(1) = 0이므로 f(1) = 0이다.
비슷한 논증에 의해 (봐 주세요ㅠㅠ) a = 2, 3, 7/3인 경우 각각 f(2) = 0, f(3) = 0, f(7/3) = 0임을 얻을 수 있다. 이때 조건에 의해 f(x)는 최고차항의 계수가 3인 사차함수이므로, f(x) = (3x - 7)(x - 1)(x - 2)(x - 3)이다.
따라서 f(4) = 5 × 3 × 2 × 1 = 30이다.
풀이의 엄밀성은 이 정도면 충분할까요?
(*'f(x)는 다항함수이므로 ℝ에서 미분가능하고, 따라서 f(1)과 f'(1)은 존재한다.'를 덧붙입니다)
네! 아주 잘 풀어주신 것 같습니다 ㅎㅎ 저도 수학 전공자나 교사가 아니기에 완전히 교과서적인 풀이를 작성할 수 있다고는 말 못하지만,, 실력이안되면노력을 님의 풀이를 제 방식대로 조금 고쳐 써보자면 다음과 같습니다.
1. (가)에서 g(x) = 6x - 13 (x > 7/3), 1 (3 < x ≤ 7/3), -2x + 7 (2 < x ≤ 3), -4x + 11 (1 < x ≤ 2), -6x + 13 (x ≤ 1)임을 확인 가능. 이때 x=1에서 평균변화율의 좌극한이 -6 우극한이 -4이고, x=2에서 평균변화율의 좌극한이 -4 우극한이 -2이고, x=7/3에서 평균변화율의 좌극한이 0 우극한이 6이고, x=3에서 평균변화율의 좌극한이 -2 우극한이 0이므로 함수 g(x)는 x=1, x=2, x=7/3, x=3에서 미분불가능함을 알 수 있다.
2. 함수 f(x)는 ℝ에서 미분가능하고 함수 g(x)는 x=1, x=2, x=7/3, x=3에서만 미분가능하지 않다. 이때 함수 f(x)g(x)가 ℝ에서 미분가능하므로, 임의의 a ∈ ℝ에 대하여 lim x->a [f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a) 가 존재한다. 함수의 극한의 정의에 따라 다시 표현해보면 lim x->a+ [f(x)g(x) - f(a)g(a)]/(x - a)와 lim x->a- [f(x)g(x) - f(a)g(a)]/(x - a)가 존재하고 그 값이 같다.
3. x가 1, 2, 7/3, 3이 아닐 때에는 두 함수 모두 미분가능하므로 함수 f(x)g(x) 또한 미분가능함을 미분가능한 함수의 성질에 따라 확인할 수 있다 (도함수의 정의에 따라 직접 계산해봐도 된다). x=1일 때, lim x->1- [f(x)g(x) - f(1)g(1)]/(x - 1) = lim x->1- [(-6x + 13)f(x) - 7f(1)]/(x - 1) = -6f(1) + 7f'(1) 이고 lim x->1+ [f(x)g(x) - f(1)g(1)]/(x - 1) = lim x->1+ [(-4x + 11)f(x) - 7f(1)]/(x - 1) = -4f(1) + 7f'(1)이므로 -6f(1) + 7f'(1) = -4f(1) + 7f'(1), 2f(1) = 0에 따라 f(1) = 0임을 알 수 있다.
같은 방식으로 x = 2, 3, 7/3인 경우 각각 f(2) = 0, f(3) = 0, f(7/3) = 0임을 확인할 수 있다.
4. f(1)=f(2)=f(7/3)=f(3)=0이고 함수 f(x)는 최고차항의 계수가 3인 사차함수이므로 인수정리에 따라 f(x)=(x-1)(x-2)(3x-7)(x-3)임을 알 수 있다. 따라서 f(4)=30, 답은 30.
다항함수가 실수 전체의 집합에서 미분가능함과 그에 따라 연속임, 그에 따라 함숫값까지 정의되는 것도 보이면 완벽할 것 같긴 합니다만 ㅋㅋㅋ 뭐 다항함수가 실수 전체의 집합에서 미분가능함은 자명한 것으로 풀이에서 간주하는 경우가 많으니,, (혹시 아직 직접 해보신 적이 없으시다면 시도해보시길 바랍니다!)
아 그건 전에 해석학 공부하다가 문득 심심해졌을 때(..?!) 한번 혼자서 증명해봤던 적이 있었어서요, 제안해주셔서 감사합니다!
표면적으로는 의대지망생이지만 수학과 진학, 수학 전공을 진지하게 희망했던 만큼 내 주신 문제의 풀이를 직관적이기보다 좀 더 엄밀하게 서술해보는 과정에서 재미있었고, 위에 책참님께서 남겨주신 댓글을 천천히 읽어보면서도 배울 점이 많았습니다! 좋은 문제 내 주셔서, (조금 길어서 읽으시는 데 쉽진 않았을 텐데도(?)) 풀이 피드백 해 주셔서 감사합니다:)
이렇게 풀어도 되나여?
각각이 미분가능하도록 생각하다 보니 인수 조건을 하나씩 뽑아냈다는 말씀이시죠? 네, 위에 있는 풀이들과 같은 결의 풀이입니다.
절댓값 다항식에 시그마 더한 꼴로 주어진 함수 어디선가 본거같은..!
2015학년도 수능 B형 30번? 얘는 다항함수는 아니긴 한데 시그마 꼴이라
어디 사설에서 본 적이 있는것 같은데 뭔지 기억이 안나네요앗 글쿤요
30?
아 첫댓에 있구나
그냥 함수 g를 x=1, x=2, x=7/3, x=3 근처에서 다 적고 f'g+fg'에 x-> 1,2,7/3,3 (+-) 넣어서 값 바뀌는 거 봤더니 g만 그대로고 g'만 바뀌더라고요. 그래서 f는 미분가능한 다항함수니 좌극한 우극한에 따라 바뀌는 g'만 잠재우면 되겠다 싶어서 f=0, 그리고 f=0인 근은1,2,7/3,3 나오겠구나 하고 x=4 대입해서 풀었습니다.
절댓값 안의 식이 x 범위에 의해서 음의 부호였다가 양의 부호로 바뀌면 그 안의 식의 2배를 더해준다는 것도 잊지 않고 다시 복습하게 됐네요. 감사합니다.
사소한 것이지만 네 부분에서 g’(x)라는 표기는 사용할 수 없습니다. [g(x+h)-g(x)]/h 에서 x=1, 2, 7/3, 3에 대해 h->0+, h->0- 을 따지는 것이 맞습니다. 잘 하셨을테지만 lim를 분배하는 과정에서 각각이 수렴해야 분배할 수 있다는 함수의 극한의 성질을 적용하기 위한 조건을 확인했는지 등을 한 번 더 확인해보시면 학습에 도움이 될 거라 생각합니다, 풀어주셔서 감사합니다!