231115를 풀어봅시다
일단 주어진 조건에서, a7=40이면서 a6=120인 경우를 생각할 수 있습니다.
일단 a9의 값으로 200이 가능합니다.
이 앞의 항들은 a4=1080, a3=3240, ...으로 생각하면 됩니다.
다른 경우를 좀 더 찾아볼게요.
a6=k라고 하고, k가 3의 배수가 아닌 경우를 봅시다.
a9의 값이 두 갈래로 나뉘는데요, k+40이 3의 배수이면 (k+40)/3, 그렇지 않으면 k+80이라는 값이 나오게 될 것입니다.
k가 120이 아니라면, k는 40보다 작은 자연수여야 합니다.
예를 들어서 k=41이 된다면 41은 3의 배수가 아니므로 a5=-1이 나오고, k=40이면 a5=0이 나오는데, 주어진 수열의 모든 항은 자연수가 되어야 하므로 k는 40보다는 작은 자연수여야 합니다.
또 k가 3의 배수라면, 예를 들어서 k=39면 a7=13이어야 하는데 a7=40이라는 조건에 안 맞으니, k는 40보다 작으면서 3의 배수가 아니어야 합니다.
일단 a9의 최댓값은 k=120일 때 200일 것이고, 최솟값은 (k+40)/3에 k의 값을 대입하면 구할 수 있을 것으로 보입니다.
이런 경우가 이상적이라고 할 수 있는데, k는 20보다 크고 40보다 작아야 합니다.
예를 들어서 k=17이라면 a5=23이고, a4=-6이 나와서 a4가 음수로 나와 모순이니까요.
k는 20보다 크고 40보다 작은, 3의 배수가 아닌 자연수로 범위가 좁혀집니다.
(k+40)/3이 자연수가 되어야 하니, k의 값의 후보는 23, 26, 29, 32, 35, 38이겠군요.
일단 k=38이라면, a4=36이 나와야 하는데, 만약 a4=36이면 a5=12여야 하는데 a5=2인 모순이 발생합니다.
k=35라면 a5=5이고 a4=30이 나와야 하지만, a4=30이면 a5=10이어야 하니 이것도 모순입니다.
k=32인 경우 a5=8이고 a4=24인데, a4=24이면 a5=8이 성립하니 조건에 맞습니다.
따라서 a9의 최솟값은 24이고, 최댓값과 최솟값의 합은 200+24=224입니다.
(k=29, 26, 23인 경우는 여러분이 직접 체크해보세요~)
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