몬티홀(+카드)에 대한 고찰

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몬티홀 문제

당신은 뒤에는 모양과 크기가 같고 뒤가 보이지 않는 세 개의 문이 있습니다.
이 중 하나의 문에만 그 뒤에 스포츠카가 있고 나머지 두 문에는 염소가 한마리씩 배치되어 있습니다.
처음부터 스포츠카가 있는 문은 결정되어 있고 하나의 문을 선택하면 그 문의 뒤의 내용물을 가져가는 게임입니다.

1) 참가자에게 셋 중 하나의 문을 선택하고 열어서 확인하기 전에 극적 긴장을 위해 답을 알고 있는 사회자인 몬티홀이 참가자가 선택하지 않은 문중 오답인 문 하나를 열어주고 참가자에게 재선택의 기회를 줍니다. 이 때 참가자가 선택한 문 뒤에 스포츠카가 있을 확률은 1/3일까요 1/2일까요?

2)참가자가 셋 중 하나의 문을 선택하고 자신이 선택한 문과 다른 한 문을 열어 그 뒤가 염소인걸 확인했다면 처음 선택한 문의 뒤에 스포츠카가 있을 확률은 1/3일까요 1/2일까요?

먼저 몬티홀 문제의 결론은 사회자가 열었을때는 처음의 문의 뒤에 스포츠카가 있을 확률은 1/3이고
참가자가 우연히 염소의 문을 열었을 경우에는 처음의 문의 뒤에 스포츠카가 있을 확률은 1/2입니다.

근데 제가 알고싶은건 사회자든 참가자든 결국 염소인 문을 확인한건 똑같은데 왜 처음문 뒤에 스포츠카가 있을 확률은 변했는지입니다.

또 다른 게임을 해보죠.

조커를 제외한 52장의 트럼프에 스페이드, 다이아, 하트, 클로버가 각각 13장이 있습니다.

이 카드를 무작위로 섞은 다음 맨 위에 있는 카드 한 장을 뽑아 따로 보관해둔 상태입니다.

1) 이 때 사회자가 남아있는 51장의 카드중에서 다이아 3장을 꺼내서 보여줬다면 처음에 따로 보관해둔 카드가 다이아일 확률은 1/4일까요 10/49일까요?

2) 이 때 배열된 남아있는 51장의 카드중에서 참가자가 위에 3장을 뭔지 모르고 뽑았을때 우연히 다이아가 연속으로 3장이 나왔다면 처음에 따로 보관해둔 카드가 다이아일 확률은 1/4일까요 10/49일까요?

이 문제와 위에 몬티홀 문제가 거의 유사하다고 보여지는데요. 이 문제또한 제가 궁금한건 사회자가 답의 단서를 보여주는 경우와 참가자가 우연히 답의 단서를 찾았을때의 차이점입니다.

누가 명쾌하게 설명해주실 분 안계신가요 ㅠㅠ

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지뢰찾기 · 515915 · 15/07/09 09:20 · MS 2014

사회자는 염소인걸 알고 열었고, 참가자는 모르고 열었다는게 차이가 되겠죠
문이 백만개가 있어요
내가 1번문을 골랐고, 사회자가 129721번 문만 남겨놓고 열었다고 하죠
생각을 해보죠
이 129721번 문은 사회자의 대학살에서 살아남은 미친놈입니다
우연히 그게 걸렸다기보단, 저놈한테 특별한 뭔가가 있어서 살아남았다고 보는 게 합리적이겠죠
문은, 당연히 바꿔야되구요

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지뢰찾기 · 515915 · 15/07/09 09:34 · MS 2014

제시한 문제에서는 전자는 1/4, 후자는 10/49가 되겠습니다
사회자가 꺼내준거 믿지 마세요
답의 단서도 뭣도 아닙니다
너 현혹시키려고 일부러 다이아만 세개 꺼낸거잖아
근데 님이 직접 뽑았을땐 경우가 다르죠
이런 이상한 일이 일어난 원인을 한번 분석해보자면... 저기 놓여있는 한 장 때문이 아닐까? 의심할 수 있는 거고요

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앰버 · 140751 · 15/07/09 10:36 · MS 2006

사회자야말로 유일한 답의 단서입니다.

전체 문의 갯수를 n개로 확장할게요(n-1마리의 염소, 1대의 페라리)

사회자가 답을 사전에 알고 n개의 문중 n-2개의 문을 따서 마지막 하나를 남겼다 : n-2개의 문을 열고 마지막 문 2개가 남았을때 처음 고른 문에 페라리가 있을 확률 = 1/n, 사회자가 남긴 문에 페라리가 있을 확률 = n-1/n

사회자가 답을 사전에 모르고 n개의 문중 n-2개의 문을 따서 마지막 하나를 남겼다 : n-2개의 문을 열고 마지막 문 2개가 남았을때 처음 고른 문에 페라리가 있을 확률 = 1/2, 사회자가 남긴 문에 페라리가 있을 확률 = 1/2
(이경우 납득이 안가실수가 있는데 사실 사회자가 모든 문중에 우연히 페라리가 안들어있는 문만 다 열어제끼는 사건이므로 이런사건 자체가 일어날 확률이 0에 수렴합니다. 만약 이런경우가 일어난다면 마지막에 남은 두개의 문의 확률은 같아지는것이 자명합니다. )

★사회자가 알고했냐 모르고했냐 자체가 시행 자체가 다른시행입니다.
(물론 내가 모르고 하는것과 사회자가 모르고 하는것은 같은시행으로 볼 수 있습니다. 사건 자체는 엄밀히 말해선 다르지만 모른다는 상태는 같으니까요)

겉으로보기에 아무 차이가 없는 사건이기때문에 같은사건으로 보여서 착각이 일어나는것이죠.

사회자의 뇌신경 구조단위까지 들어가본다면 분명히 다른사건입니다.

다른사건이라고 인지하는것이 본인이 아니라면 물리적으로 불가능한 사건이 있고 이런경우에 확률 계산의 오류가 생기기 쉽습니다.

주사위 장인을 생각해보면 편할겁니다.
주사위 장인이있어서 주사위눈을 던져서 6만 나오게할수있는 장인이 있다고 생각해보세요.

실제로 다른사람이 봤을때 6의눈이 나올 확률은 1/6로 추정되지만, 정답은 1입니다.
누가 보느냐에따라 확률에 달라지는게아니라 사실 이사람의 주사위 6의 눈이 나올 확률이 100%이지만 이것은 겉으로 드러나는 성질이 아니기때문에 파악이 안된 것 뿐입니다.

몬티홀과 같은 문제이니 잘 생각해보시면 이해가 갈겁니다.

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고망고 · 582441 · 15/07/09 09:27 · MS 2015

사회자가 어느 문에 염소가 있는지를 아냐 모르냐에 따라 달라지구요

혹시나 이해 안가면 남휘종T 몬티홀딜레마 TCC 수강해보세요~.~ 명쾌하게 설명해줄거에요

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