0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
설대 0
설대1차에서 합격 안된거면 인원 돌아도 합격은 절대 안돠는건가오?
-
[고려대학교 25학번 합격] 합격자를 위한 고려대 25 단톡방을 소개합니다. 0
고려대 25학번 합격자를 위한 고려대 클루x노크 오픈채팅방을 소개합니다. 24학번...
-
시발 0
공부시간 재는거 재밌어서 맨날 공부시간 재고 있었는데 켠 줄 알고 수학 벅벅...
-
안돼 0
정신을 차리고 뉴런을 들어야만 해
-
덕코 불리기 4
헉....
-
예전엔 토익 850점 넘으면 대학영어 수업 면제 이런게 있던데 지금은 사라지고...
-
1. 이번주부터 라이브 합류하는데 수업 방식이 어떻게 되나요? 2. 저번주 내용...
-
클릭미스 몇번 한거 개아깝네 ㅅㅂ
-
먼가 인생이 1트에 잘 풀린 적은 처음이라 기분이 좋네요 운이 많이 좋은 입시같은
-
국어만쩜 질받 11
칼럼쓰려다 너무귀찮아서 포기함뇨 뭐든 환영
-
내 자신과의 약속임
-
아
-
덕코좀 주세요 0
난 겆이야
-
햄부기 4
.
-
얼버기 2
Hi
-
..
-
-
ㄱ
-
2개월 만에 돌아온 자작 문항 이런 유형이 나오겠어 설마 전형적인 포물선 문제...
-
이마 위 상처는 8
청춘의 징표 우리는 서로의 좋은 반창고
-
이러면 방청소 해야하잖아
-
-
맛점하세요 22
-
이따 저녁에 올게요 하하
-
-
나도 민트테 ? 1
일단 26입시부터 성공하면 가능해..
-
서강대의 경우 자전식 점수랑 인문식 점수 산출법이 다른데 어케 보정한거지?
-
애매하게 알고있으면 재앙
-
나도 칼럼이나 올려볼까 12
근데 뭐 올리지?
-
전자기파트 파동 빛과 물질의 이중성 특수상대성이론 역학 열역학 선택자수 늘어남?
-
나랑도 맞팔하자 29
손
-
저격당했네 하면 되는거지
-
팔로워 인플레 5
금테가많군
-
수능도 예외는 아님. 자기랑 맞는 과목이 있고 안 맞는 과목이 있음. 난 그게...
-
-
나 왜 은테임
-
드릴전에 가볍게 풀려고 하는데 어떤가요
-
오르비 제대로 한지 한달 정도밖에 안된거 같은디 하도 떠들어대고 그림그려주니까 은테가 되었어요 껄껄
-
본인 군수생이고 지금 수12 한완수 기본개념 회독했고 한완수 실전개념 하는중인데...
-
노베기준 1단원부터 진입장벽 개에바라서 몇장 끄적이고 안되네? 안해야겠다 <- 이게...
-
오르비 4년차 17
처음으로 은테까지 갔다! ㅋㅋㅋㅋ
-
-
아무도 서지 않는 그 누구도 모르는 짙은 향기를 담은 코끝이 시려 올 때 그럴 때 마침 일어설래요
-
-
드디어 뚫었다 12
암산테스트 비록 유행은 지났지만 70뚫어냄뇨
-
그냥 패스없이 동네학원으로는 한계가 있는걸까 ㅅㄷㅇㅈ ㄹㅅ 이런데 제외하고
-
와 파랑테 0
기모찌
-
사문어렵다... 6
음... 확실히 외울게 많은거같아 지구는 이해를 기반으로 개념을 압축하면 외울량을...
-
은테 달았다 9
ㅎㅎ
-
.
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
응꼴잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
결론부 마음에 듭니다 ♡무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿