2021학년도 9월 가형 30번 논리적 풀이
부등식이 나왔으니 한 쪽으로 몰아 정리해봅시다. 수학2 혹은 미적분에서 학습했던 생각이죠?
(e^(x-2)는 -e^(-x+1) 항상 크니 당연히 부등식 성립하겠죠)
자 그럼 두 함수의 개형을 파악하기 위해 도함수를 구해봅시다.
a에 적당한 수를 몇 개 대입하다보니.. a>0이면 함수 y_1은 감소하다 증가할 것이고 y_2도 감소하다 증가하겠네요.
그럼 a>0일 때는 y_1의 극솟값이 0 이상이고 y_2의 극솟값이 0 이상이어야 부등식을 만족하겠습니다.
도함수를 구해봤으니 y_1은 x=1-ln(a)일 때, y_2는 x=2+ln(a)일 때 극소를 지님을 알 수 있습니다.
각 함수의 극솟값을 구해보면 이러하니
로부터
임을 알았습니다. 이제 ab의 정보를 파악하기 위해 각 변에 a를 곱해주면
가 되겠죠. 왼쪽과 오른쪽의 함수의 도함수를 구해 그래프 개형을 잡아봅시다.
우선 오른쪽의 함수가 왼쪽의 함수 이상이어야 하니
아래 방정식의 해, 즉
다음의 구간에서 생각해야할 것입니다.
그래프 특성이 잘 보이지 않으니 x=0 쪽으로 조금만 확대해봅시다. (현장에서 그릴 때는 도함수 부호 변동 정도만 고려해서 대충 그릴 것이니 이미 파악했을 것입니다)
처음에 부등식을 정리했을 때
a의 값이 정해지면 b의 값도 그에 따라 정해질 것입니다.
다시 말해 b는 a에 관한 함수입니다.
그럼 ab 또한 0<a<=e^(1/2)에서 정의된 a에 관한 함수이므로 이 함수의 최댓값은 곧 -a^2(lna+1)의 극댓값과 같고 이 함수의 최솟값은 곧 -a^2(lna+1)과 a^2(lna-2)의 교점의 y좌표와 같을 것입니다.
극댓값부터 구해보면 이러하고
교점 y좌표 구해보면 이러합니다.
답을 내주면
에서 43이 될 것입니다.
현장에서는 이렇게 마치면 될 듯하고 이제 a=0과 a<0을 고려해봅시다.
a=0이면 이러한 상황입니다.
만약 b가 0이 아니면 둘 중 하나가 성립하지 않을 것임을 확인할 수 있고 그럼 b=0입니다.
이때 ab=0이므로 a>0일 때 구한 최댓값과 최솟값 사이에 있어 답에 영향을 주지 않습니다.
a<0이면 도함수의 부호로부터 y_1은 감소함수, y_2는 증가함수일 것입니다.
즉, y_1의 최솟값 혹은 그에 준하는 값과 y_2의 최솟값 혹은 그에 준하는 값이 0 이상이면 부등식을 만족합니다.
그런데 극한을 조사해보니 최솟값이 존재하지 않습니다. 따라서 a<0일 때는 부등식을 만족하지 않습니다.
+ 뭔가 뭔가 느낌이 와요
함수를 가만히 보고 있으면 y_1을 x축, y축에 대칭이동하고 적당히 평행이동하면 y_2가 될 것임을 알 수 있습니다.
이때 y_1을 x축, y축에 대칭이동한 함수는 y_1과 원점대칭이라는 점에서 y_2는 어떤 점에 대해 y_1과 대칭일 것이라고 생각해볼 수 있습니다.
y_1을 원점대칭한 상태에서 이를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한다면 그 함수와 y_1의 대칭점은 x축 방향으로 p/2만큼 평행이동할 것임을 직관적으로 알 수 있습니다.
그럼 p=3인 상황이므로 대칭점은
(3/2, 0)이 될 것임을 알 수 있습니다.
그리고 나서 점 (3/2, 0)을 지나는 직선을 생각해보면 기울기가 0에서 e^(1/2)까지 변화할 수 있음을 알 수 있는데 (부등식을 만족할 때)
신기하게 직선의 기울기가 최대일 때, 다시 말해 a=e^(1/2), b=-3e^(1/2)/2일 때가 앞서 알아본 ab가 최소일 때와 일치함을 확인할 수 있습니다.
달리 말하면 ㅣabㅣ가 최대일 때와 관련이 있는 것이죠! 실제로 확인을 해보면
x=0 근처에서는 이렇게
멀리서는 이렇게 되어 ㅣabㅣ의 최솟값은 ㅣ-a^2(lna+1)ㅣ의 극댓값, ㅣabㅣ의 최댓값은 ㅣ-a^2(lna+1)ㅣ과 ㅣa^2(lna-2)ㅣ의 교점의 y좌표임을 확인할 수 있습니다.
ab가 최대일 때는 아직 대칭성 활용해 발견하진 못했네요 ㅎㅎ
감사합니다!
p.s. 현역 때 수능 당일까지 이해하지 못하고 스스로 풀어내지 못했던 문항 중 하나였는데 이전 게시물에 남긴 자작 문항 풀이 완성하고 도전해보고 싶은 충동이 들어 막 해봤습니다. ebs는 제가 느끼기에 발상적인 풀이를 제시했고 유튜브에도 그래프를 통한 직관으로 많이들 처리하시는 것 같길래 조금은 논리적인 방향으로 풀이를 작성해봤습니다.
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a값이 정해졌을 때 왜 b값도 정해지는건지 알 수 있을까요?
정확히는 a값이 정해졌을 때 b값의 범위가 정해지는지라 '함수'라고 말할 수 없을 것 같습니다. 다만 ab의 최대 최소를 생각하는 것이 결국 b가 취할 수 있는 값의 범위를 a에 대해 표현했을 때 a에 대해 표현되는 ab값의 범위에 대한 최대 최소를 생각하는 것과 같기 때문에 'ab 또한 대충 a에 대한 함수다. 그럼 위로 붙거나 아래로 붙어야할 것이다'와 같은 느낌을 전하려했어요!
그래서 엄밀히 말하면 'a값이 정해졌을 때 b값의 범위가 정해진다'라고 해야하겠네요
음함수 미분법 이야기할 때 두 변수가 상수 관계냐 함수 관계냐 이런 이야기 하잖아요? 이것도 정확히는 함수 관계가 맞냐 아니냐라고 표현하는 것이 적절할 것 같긴 한데...
이때 함수 관계임을 판별하는 방법이 한 쪽이 변할 때 다른 쪽이 변하는지 가만히 있는지를, 다시 말해 한 쪽이 다른 한 쪽에 영향을 미칠 수 있는지를 살펴보는 것이었습니다. 예를 들어 내가 k, t라는 두 가지 변수에 대해서 t값을 움직여볼 때 k값이 움직이고 한 가지 값으로 결정되면 'k가 t에 대한 함수다'라고 말하고 이것이 미분가능하면 dk/dt와 같은 음함수 미분법을 달아주는 식으로 관련 문항을 해결할 수 있죠.
비슷한 맥락에서 이 문항도 a가 변할 때 b가 변하기 때문에 '함수 관계'에 있다는 표현을 사용함으로써 ab의 최대 최소를 구할 때 a가 최대이고 b가 최대일 때를 구해 곱한 것이 ab의 최대가 되는 것이 아니라, a가 움직임에 따라 b도 영향을 받기 때문에 b를 a에 대해 정리한 상황을 떠올릴 필요가 있음을 전하고 싶었습니다. 실제로 확인해보면 b값이 취할 수 있는 범위가 a에 대한 식을 나타나기 때문에 ab의 범위를 a에 대한 두 함수의 그래프 사이에 존재하는 임의의 함수의 그래프 치역으로 생각해볼 수 있겠습니다.