올해 수학 22번을 5분 안에 푸는 방법
수학 실력만은 직관을 배신하지 않습니다.
저는 작년에 여러 창업 경진 대회들과 프로젝트들을 진행하며 제가 좋아하고 꿈꾸고 있던 다른 분야에 시간을 투자하고 있었기에 수능을 준비할 시간이 없었고, 유일하게 한 공부는 수능장을 향하는 기찻길에 푼 6월 9월 모의고사 뿐입니다.
이렇게 공부를 하지 않았음에도 불구하고,
다른 과목과 달리 수학만은 오히려 수능을 준비했을 때보다도 훨씬 높은 성적이 나왔습니다
모든 문제를 푸는데 60분이 걸렸고, 40분간은 4점 문제를 처음부터 다시 풀며 실수를 검토했습니다.
그렇기에 수학 실력만큼은 한번 사고력과 직관을 확립하고 나면 절대 어딜가지 않는다는 것을 꼭 전하고 싶습니다.
저희가 생각하기에, 올해 수능 22번 문항은 수학에서 직관의 힘을 가장 잘 보여주는 사례인 것 같습니다.
올해 수능 22번의 정답률은 1.4%로, 분명 모든 조건을 하나하나 증명하고 파고든다면 정말 어려운 문제입니다.
평가원 또한 이 사실을 정확히 알고 있고, 이를 통해 학생들을 변별하려고 했을것입니다.
그래서 제가 이 문제를 현장에서 푸는데 어느 정도 시간이 걸렸을까요?
5분 걸렸습니다.
일단, 현장에서 이 문제를 본다면
‘이 조건 하나만 잘 해석하면 모든 것이 쉽게 풀리겠다’
라고 생각하며, 이 조건을 가장 쉬운 방법으로 해석하는 데에 모든 힘을 기울여야 합니다.
또한 문장이 부정형으로 구성되어 있고, 부등호(<)에 등호가 포함되어 있지 않기에 직관적으로 이를 동치로 바꿀 생각이 듭니다.
동치로 바꾼 후 조건은 다음과 같습니다.
이를 조금만 문학적으로 해석해본다면,
, 
이라는 정수 1단위로 움직이는 두 개의 심판대가 있고
이 지점에서 
과 
이 같은 부호를 가르켜 ‘무죄’를 선고받거나,
f(k-1) 또는 f(k+1)이 0이 되어 나머지 하나의 부호와 무관하게 ‘면책’되어야 합니다.
는 현장에서 이렇게 이미지화하여 머릿속에서 생각했습니다.
이후 “≥”의 존재를 생각했습니다.
평가원은 이유 없이 “≥”를 주지 않습니다.
지금까지 평가원은 ”≥”를 조건으로 준 상태로 “>”의 성질만을 이용하도록 문제를 설계한 적은 단 한번도 없었고, 평가원이 평가원인 이상 앞으로도 그럴 것입니다.
비록 동치를 통해 우리가 조건을 변환했다고 해도 이 변환은 평가원이 철저히 의도한 것이기에, 위 사실은 변하지 않습니다.
이를 통해 우리는 증명 없이도 f(x)가 적어도 하나 이상의 정수 근을 가짐을 느껴야 합니다.
이후 밑의 조건을 통해 최고차항이 1인 삼차함수에서 기울기 값이 음수인 조건이 주어졌으므로, 두 개의 극값을 갖는 일반적인 삼차함수의 개형만을 떠올려도 좋을 것 같습니다.
또한, f(8)의 값이 자연수가 되어야 하기에 f(x)의 근이 복잡한 형태를 띄고 있을 것 같진 않습니다.
각 근의 분모가 2, 4, 8, 16 … 이내의 형태로 결정날 것 같습니다.
그렇다면 f(x)는 몇 번 ‘면책’받을까요?
만약 어떤 정수 k에 대해 f(k)=0로 ‘면책’받고, 이 실근이 중근이 아니라면
의 심판 과정에서
또는 
에서 또 다른 정수 근을 갖게 되어 다시한번 ‘면책’받거나,
열린 구간 (k-1, k+1)에서 또 다른 실근을 갖고 ‘무죄’를 선고받아야 합니다.
먼저, f(x)에 정수가 아닌 실근이 두 개 이상 나온다면 f(8)이 자연수가 되기 어려워집니다.
그러므로 우리는 또는 에서 정수 근을 갖는 경우를 먼저 생각해보는 것이 좋겠습니다.
이 과정에서 저는 자연스럽게
‘아무리 넓어도 구간 [-1, 1]에서 승부가 나겠다’
고 생각했습니다.
물론 맹목적으로 경우를 확정해버리는 것은 옳지 않습니다.
그러나 두 개의 정수 근을 갖는 경우를 먼저 생각한 뒤 구해지지 않는다면 이후에 나머지 경우들을 생각해보아도 늦지 않습니다.
오히려 방향성을 정하지 않은 채 모든 경우를 동등하게 살펴보는 쪽이 더 비효율적입니다.
우선 f(x)가 x=-1/4과 x=1/4에서 모두 감소한다는 사실로부터
f(x)가 중근을 가지는 경우라면 두 인접한 정수 근은 {-1, 0} 또는 {0, 1}일텐데,
그래프상 그 어떤 경우에도 f(x)가 중근을 가짐과 동시에 x=-1/4과 x=1/4에서 모두 감소하는 것은 불가능하다는 것을 알게 되었습니다.
하나하나 계산하는 것이 아니라, 시험지에 간단하게 끄적여봄으로써 판단하는 것입니다.
(분량 상 나머지 두 경우는 그래프 이미지를 첨부하는 것을 생략했습니다. 그러나 핵심은 같기에 같은 이유로 가능하지 않습니다.)
그렇다면 [-1, 1] 이내에 총 3개의 실근이 있고, 그 중 2개 이상의 인접한 정수 근이 존재하는 경우는 3가지가 있습니다.
그러나, 
이라면 
이라는 식을 대입하기도 전에 이미 식이 특정되어 버리므로 과조건이 됩니다.
그렇기에 저는
와
을 떠올렸습니다. (0<a<1)
그러나, 두 경우가 0과 1사이에 있는 x=1/4에서의 증감 여부로 인해 하나로 결정된다면,
가장 오른쪽에 있는 근이 x=a보다는 x=1이 되는 것이 개형적으로 더 유리하다고 생각했고,
그렇게 
에서 
식을 대입하고 x=1/4에서의 증감 여부를 확인함으로써 a=5/8임을 구했습니다.
이렇게 답을 구하고 바로 다음 문제로 넘어갔습니다.
물론 저 또한 40분간의 검토 시간에는 예외의 경우들을 하나하나 다 검증해보면서 확정해나갔습니다.
하지만, 확실한 것은 현재 기조의 킬러 문항들은 100%의 논리적 사고보다는
그래프들을 머릿속에 흐릿하게라도 그려가면서
30%의 논리적 사고를 곁들인 채 직관적으로 생각하는 능력을 요구한다는 것입니다.
이는 비단 저 뿐만이 아닌, 저희 다른 팀원들과의 풀이와도 전부 같습니다.
저희가 출판하고자 하는 수학 기출문제집의 모든 해설지는 ‘직관’을 중심으로 작성되었습니다.
물론 이 게시글에 더해, 해설지에서는 논리적인 이유 또한 절대 간과하지 않습니다.
저희 팀에는 저보다 수학을 훨씬 잘하시는 분들이 많습니다.
저희 팀원들은 이미 문제의 모든 것을 아는 상태에서가 아닌,
문제를 처음 직면한 후에 머릿속에 드는 생각들을 하나하나 정리하고 그것들을 전부 다시 체계화하여 그 사고 과정을 기반으로 해설을 작성합니다.
저희는 Team BLANK이고, 여러분들에게 최고의 수학 해설을 보여드리기 위해 모든 방면에서 최선을 다하고 있습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 좋은 하루 보내세요 :)
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이게 뭐지
근데 동치로 바꾼 후 조건에 오타가
앗! 이미지를 첨부하는 과정에서 실수가 있었습니다ㅜㅜ
원래 첨부되었어야 할 이미지인데 민망하네요..
아래 9등급의 풀이보다는 훨씬 품격있는 글이네요
또한 문장이 부정형으로 구성되어 있고, 부등호(<)에 등호가 포함되어 있지 않기에 직관적으로 이를 동치로 바꿀 생각이 듭니다.
동치로 바꾼 후 조건은 다음과 같습니다.
이 부분에서 글을 옮기고 이미지를 첨부하는 도중 오류가 있어 정정하겠습니다
아래는 정정된 이미지입니다.
사실 이 문제의 (가) 조건에 대해 궁금한 게 두 가지 있었는데요
하나는 왜 f(k)f(k+2)<0 이 아닌 f(k-1)f(k+1)<0 으로 조건을 주었는지
다른 하나는 왜 동치 조건이 아닌 원조건으로 조건을 주었는지
궁금합니다. 뭔가 평가원의 의도가 있을 텐데 말이죠
첫번째로, f(k-1)f(k+1)로 준 이유에 대해선 정수 k+1을 주고 만족시키는 "~정수 k+1은 존재하지 않는다." 보다는 만족시키는 정수를 k로 설정하는 편이 더 깔끔해서 그렇게 설정했을 것입니다.
두번째로 원조건으로 준 이유는, 일반 부등호의 형태로 조건을 주어야 학생들 입장에서 조금이라도 한 단계를 거쳐 생각할 수 있을 것이라고 의도한게 아닐지 합니다. 이미 대부분의 학생들은 ≥를 주면 =인 경우를 생각해야함을 대부분 배웠거나 이전 기출들을 통해 알고있기에, 한 단계 꼬아서 낸 것이라고 생각합니다.
그렇군요
답변 감사합니다
이 글이 도움이 되셨길 바랄게요!
긴 글 읽어주셔서 정말 감사드립니다 좋은 하루 보내세요 :)
사고의 흐름이 선생님과 동일해서 자신감이 생겼어요! 좋은 분석글 감사드려요:D감사합니다 :) 좋은 하루 보내세요!
저도 수능장에서는 꽤나? 빨리 풀었는데 막상 누군가에게 논리적으로 설명하려니 따질게 굉장히 많은 어려운 문제더군요. 글의 내용에 완전 동의합니다.
맞습니다. 저 또한 어떻게 해야 직관을 가장 이해하기 쉽게 설명할 수 있을지 여러 팀원들과 논의하고 검토해 본 뒤 글을 작성했습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다 :) 좋은 하루 보내세요!
오랜만에 한완수를 공부하는 듯한 느낌을 받았습니다, Team BLANK가 수학 교육에 한 획을 크게 긋길 응원합니다!!
감사합니다, 앞으로도 가장 높은 퀄리티의 해설을 작성하기 위해 노력하겠습니다 :)
무조건 -1,0,1에서 쇼부본다
이중에 근 하나는 있어야겠구나
3개 근 해보니까 수치가 안맞네?
접하는거로 해보니까 안되네?
여기까진 거진 5분안에 했는데 그다음에 딱 뇌절로 막혀서 케이스 나눠볼 생각 못하고 그럼 무슨 경우인지 생각하다가 시간박고 조짐 ㅋㅋ
아예 모르는게 아니라 다 풀었다 생각해서 더 말린듯 ㅠ
현장응시 22 30틀 했던 학생입니다!
(30번은 변곡점 계산을 면밀하게 계산하지 못해서 틀렸고, 28번도 정확하게 풀어내지는 못했지만 풀어냈습니다)
킬러풀이는 논리적인 정당성을 최대한 부여하면서(사실은 무조건 정당한 이유를 찾아야 한다고 집착하지만) 끌고 나가야 한다고 생각해왔지만
막상 현장에서는 압도적인 실력이 없다면 직관에 기댈 수밖에 없다는 걸 확신하게 된 것 같습니다!
하나 여쭙고 싶은게, f=(x+1)x(x-1)에서 저도 과조건을 느끼고 거기서 멈춘 것까지는 현장풀이와 거의 비슷한데, 마지막 2가지 케이스를 떠올리지 못했는데 왜 떠올리지 못했는지 정리가 잘 안되서, 답변해주실 수 있나 싶어 질문합니다!
또 다른 질문이 있는데, 수능에서 좋은 결과를 얻지 못해 다시 수능응시를 준비하려고 합니다. 6평 백분위 95 9평 백분위 98 수능 백분위 99인데
수학공부를 어떻게 다시 시작해 나가야 할지 개략적으로 알려주시면 감사하겠습니다!
(ex. 기출 5개년 다시 체크 후 N제 취약지점들 집중공략/개념공부는 ~~~게 정리하면 충분할 것 같다)
음 먼저 두개의 정수근을 가지는 경우를 우선적으로 검토해본다고 했을때, [-1, 1]에서 총 세개의 정수 -1, 0, 1이 존재하는데, 두 개의 정수근은 인접해야하므로 -1, 1을 정수 근으로 가질 수는 없습니다. 그렇기에 -1, 0과 1, 0이렇게 두가지 경우로 나뉘는 것입니다.
사실 개념공부는 충분히 완성이 되신 것 같습니다! 기출문항들 중에 좀 거슬렸던 문장들을 모아서 천천히 다시 해석해보시고 킬러문항같이 풀이과정이 긴 문항들을 기준으로 어디까지 직관으로 가능한지, 그 직관이 시험장에서 유효한지 등을 검토해보시는 것만으로 충분하실 것 같고 무엇보다 본인이 평소에 접해보지 못한 문항들을 보시는 것만으로 지금 작성자님의 실력대에서 하실 수 있는 최선이 아닐까싶습니다! 올해 수능 보시느라 정말 수고 많으셨습니다! 좋아요를 눌러주시면 저희 팀에 큰 힘이 됩니다 감사합니다:)
답변 감사합니다! 부족한 개념은 그때그때마다 채우는 거로도 충분할 것 같다는 생각이 드는데 그렇게 다시 해보겠습니다! 게시물 잘 보고 있어요~
이런 사고력? 직관 기르려면 수학을 어떻게 공부해야할까요? 강대 재종반 다니는 학생이고 어려운 문제나 풀이 길게 쓴 문제들은 쌤들 손 해설지 보면서 복습하고 있긴한데 솔직히 이런 킬러 문제들 보면 시작을 어떻게 해야할지 공부를 어케 해야할지 막막하더라구요.
일단 어느정도 문제를 많이 풀어야하는건 기본인 것 같은데 어떤 마인드나 어떤 자세로 공부해야할지 조언좀 부탁드립니다.
물론 다른 케이스 또한 많다고 들었기에 다른 방법이 더 효율적이라고 생각하신다면 강요하지는 않지만, 저 같은 경우 아직 6-7월 전이니 해설지를 보지 말고 문제를 적어도 30분 이상 길게는 2시간까지 고민해봐야한다고 주장하는 편입니다. 만약 풀다가 뇌가 굳어서 생각에 진전이 없다면, 해설지를 보고 넘기기 전에 일단 체크해놓고 며칠 뒤에 다시 풀어보는 것도 좋을 것 같습니다. 풀면서 어려웠던 문제들을 해설지를 보면서 복습하는 것은 좋은 습관인것 같습니다! 복습을 하면 같은 양을 풀더라도 얻어가는 실력이 분명 다를겁니다. 다만 문제를 복습할 때 그저 읽고 받아들이는것보단 내가 문제를 처음 직면했을 때 했던 생각들과 1:1로 비교해보면서 복습해보는 것이 좋을 것 같습니다 :)
감사합니다! 몇몇 문제들은 말씀하신대로 한시간 정도 고민했던 적도 있어요. 맞는 답인데 다른 케이스는 왜 안되지 이런것도 따진적도 있구요. 근데 문제 푸는 양이 너무 적어서 걱정이긴한데 뭐 나중에 가면 양치기 할테니깐 지금은 피지컬 높이려구요 ㅎㅎ 좋은 말씀 감사합니다
언제 출간되나요??
3월 중 출간을 목표로 하고 있습니다!
레전드네요그냥
저도 작성자님이랑 거의 비슷하게 풀었는데
이 문제는 각각의 케이스마다 좌표평면을 새로 설정하기 보단, 하나의 좌표평면 위에서 여러 케이스 그래프를 덧대어서 다소 지저분하게 그려서 관찰하는 게 좋은 거 같아요.
정병훈쌤도 이 문제 푸시는 거 은근 오래 걸리시던데 깔끔하게 풀려고 하셔서 그런 듯요
사실 그래프를 꺾어서 다시 그리든 좌표평면을 새로 그리든, 원명제를 동치인 대우명제로 바꿔서 보든, 심판대(저는 보안검색대라고 부릅니다ㅋㅋ) 관점으로 보든 수학적으론 전혀 유불리가 없지만 인지적인 부분에선 정말 크게 작용하는 거 같아요.
거리곱도 마찬가지죠. 저는 차를 구해서 곱하는 과정이랑 거리를 곱하는 과정이랑 완전히 똑같은데 왜 좋다고 하는지 이해가 안 됐었는데, 확실히 그래프 하나 그려놓고 그 위에서 눈으로 쓱쓱 하니까 편하더라고요. 역시 인지적인 이점인 듯 해요
아하, 그것도 좋은 방법이네요 :) 다만 설명할 때는 여러 케이스 그래프가 다소 보기 불편할 수 있기에 한개씩 적었는데, 저도 평소에 값이 복잡하지 않은 삼차함수 케이스를 다룰때 하나의 좌표평면에서 두세개의 그래프를 동시에 그려보는 편입니다!
맞아요 시중에는 인지적인 이점을 무시하고
활자로 쓸 때 편한 해설이 너무 많습니다
백분위 98짜리 성적표도 있고 100짜리 성적표도 있네요 다른 사람인가요?
전 성적표는 23년도, 후 성적표는 24년도 수능입니다.
오 글쿤요 글 잘봤습니다
감사합니다 :) 글의 내용이 조금이라도 도움되었으면 좋겠네요 !
선생님 수1 수2 미적 따로 3권 판매하실건가요
그리고 확통도 있을까요?
일단 저희가 수1수2미적을 먼저 3월 중으로 출판하는 것을 목표로 하고 있고, 수요조사를 통해 확통과 기하도 출간할지 내부팀원들과 고민중에 있습니다! :)
23수능 88점이시던데 몇번 틀리신걸까요?
23수능의 경우 70분간 모든 문제를 풀고 30분간 1-28번을 전부 검토하였습니다. 당연히 만점이라고 생각했지만 검토하지 못한 29번과 30번을 계산실수로 틀리게 되었고, 검토를 했음에도 14번 한 문제를 양극한을 값으로 대입해버리는 실수를 저질러 틀리게 되었습니다.
14번 ㄷ이 중의적이라고 생각하면 바로 지울 수 있어요
많이 아쉽네요
지우지 말아주세요 좋은 글 감사합니다.
감사합니다, 이 글이 조금이라도 도움이 되었길 바랍니다. 행복한 밤 보내세요 :)
뭘틀리셨길래 표점이 146이죠??
사실 저도 4점짜리 제외하고는 가채점을 안해봤기에 잘 모르지만, 이상한 3점 / 2점짜리 하나 틀린것같습니다. 원래 계산실수를 굉장히 자주하는 편이라 항상 다 풀고 꼼꼼히 검토하는 데에도 불구하고 이런 실수가 종종 발생하더라구요
수학황ㅁㅊ 부럽다
저 함수의 범위중 가장 유력한 -1,0,1을 타깃으로 해서
중심으로부터 주변으로 뻗어나간 거네요
전 0 1인 경우만 생각해서 실수했던거 같네요
team blank 파이팅!
수능장에서 풀면서 스스로 감탄한 문제인데 해설 맛도리네요
이게 완벽한 사고 흐름인 듯. 저도 똑같이 생각함
이게 제가 당일에 폰으로 푼 풀이인데 말이 길어서 그렇지 실상 과정은 그리 안 길어요
수능 수학을 진짜 잘 하는 사람들의 공통점
수학에 서사를 부여하고 문학처럼 품
공통점 2진짜 문학은 못함
(본인 이야기)
공부 안 한 수학 1
공부 개 열심히 한 국어 3
망할
ㅋㅋㅋㅋㅋ
거봐문학은 수학이랑 다르다고
라기보다는
스스로 서사를 구성하는 건 잘하지만
누군가 쓴 서사를 배경지식 없이 이해하는 건 좀 어려움
스스로 쓴 서사
ln x 는 x보다 힘이 약해서 맞고 다니지만 사실
본체는 싸움고수 e^x이고
1-cost 는 사실 1/2 x^2과 쌍둥이었고
t가 움직이면서 롤러코스터 타듯이 올라가고 내려가고
그걸 보면서 극대와 극소를 찾음
이게 서사..?
1-cost->1-cosx
아오 자동완성시치
cost 쓰면 cost라고 씀
교재가 자습서같은 느낌인 건가요? 아님 직관을 사용하는 풀이에 대한 기출서인 건가요?
각 기출마다 저희 팀이 풀이에 필요한 배경지식을 설명해주기도 하고, 직관적으로 풀이를 바로 시작하기도 합니다.
배경지식을 설명해주는 건 예를 들면 “고교과정에서 배우는 적분은 굉장히 양이 적다. 따라서 적분 관련 조건이 주어진다면, 나머지 조건들을 잘 엮어서 수식을 변형하여 퍼즐게임하듯 끼워맞춰야한다. 적분은 기교적인 역량이 필요한 단원이다.”등으로 설명을 하고 풀이를 진행하는 경우도 있고, 그게 아니라면, 문제를 처음 접해본 입장에서, “음, 이 경우에서는 대수적으로 조건을 해석하기보다는 그래프를 대략적으로라도 떠올리고 풀이를 진행하는 것이 유리했던거같은데?“와같이 저희도 문제를 전혀 모른다는 가정 하에 사고흐름을 풀어서 서술합니다. 또한 저희 다수의 팀원들이 여러번 풀이를 검토하여 직관적으로 간결한 풀이를 구사했는지, 누구나 쉽게 이해할 수 있는지 등을 여러번 검토하여 해설을 작성하고있습니다!
이해가 안되시는 부분이 있다면 얼마든지 추가로 답글 달아주시면 답변해드리겠습니다!
오늘 하루 수고 많으셨습니다. 감사합니다:)
무첫다걍
혹시 국어도 BLANK팀 기출해설서 나오나요?
수학보다 국어가 급하네요ㅠ