사고력이란 무엇인가 63편 - 선형성과 비선형성

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여러분 혹시 '선형적이다'라는 말을 들어본 적이 있나요? 전 대학교 1학년 때 처음 듣게 되었는데, 대학생이 쉽게 들을 만한 말이 아니긴 합니다. 대학교 때 <선형대수학>이라는 과목이 있긴 하지만 선형성, 비선형성 자체에 대해서 잠깐이라도 깊이 설명을 들어본 적은 따로 없습니다. 단지 잠깐 다녔던 부산대에서 물리학 기초 교양 교수님께서 선형적인 것에 대해서 설명해주셨던 것이 좀 기억이 납니다.

아주 감사한 것이 이후 선형적이다 비선형적이다 라는 개념은 제게 상당히 유용하고 자주 쓰였거든요. 선형적이다는 것은 쉽게 말해서 y=x 꼴의 그래프 개형을 가진다는 말이고, 비선형적이다는 것은 그렇지 않다는 것입니다. 편의상 y=x^2꼴의 그래프를 그린다고, 우상향하는 그래프를 생각하고 설명을 해보겠습니다.

딱 봐도 무슨 말을 하고 싶은지 감이 오나요?

https://wikidocs.net/34065

저는 특히 요새 복잡계 네트워크complex network를 공부하는 입장에서 이 비선형적인 것을 많이 다루게 됩니다. 선형적이라는 것은 말 그대로 직선형으로 이루어져 있다는 것인데, 우리 계단을 생각하면 아주 쉽습니다. 선형으로, 계단을 올라가는 방법은 무엇인가요? step by step으로 한 단계 씩 올라가기만 하면 언젠가는 문제가 풀리게 되어있습니다. 대표적으로 수학 문제가 그런 식으로 되어 있습니다 한 단계 씩 껍질을 벗겨 나가다 보면 문제를 풀 수 있는 것이죠.

반면 비선형적인 문제는 저런 계단식 접근 방식으로 풀 수 없는 문제가 없습니다. 뭐 정치적인 문제가 될 수도 잇고 하여튼 복잡한 문제가 그렇습니다. 얽힌 실타래 같은 문제는 하나씩 풀려고 하면 다른 한 곳에서 개판이 나니까 쉽게 접근하기가 힘들고, 굉장히 다양한 각도에서 한꺼번에 접근을 해야 하는 분야입니다.

특히 예전에 전 환원주의적 사고에 대해서 이야기를 한 적이 있었는데, 환원주의가 바로 선형성의 대표적인 예시입니다. 어떤 수학 문제가 있으면 이 복잡한 것을 잘게 쪼개고 역으로 풀다 보면 결국 쉬운 문제들로 분해가 되겠죠? 그런 것들을 각각을 풀고 다시 재조립을 하면 풀 수 있을 것입니다.

그러나 우리가 만나는 문제들은 보통 이런 환원주의로 간단하게 해결되지 못합니다. 왜냐하면, 대부분의 문제들은 비선형적이기 때문입니다. 이 말을 좀 더 쉽게 풀어 쓰자면 '문제를 풀어도, 문제의 각 부분의 합이 전체와 다르다' 는 것입니다. 1+1 = 2 인게 선형적이라면, 1+1 = 3 혹은 그 이상이 나오는 창발성이나 복잡성이 바로 비선형성입니다.

그나마 좀 마음에 드는 그림이어서 가져왔는데요, 0.0~0.2 부분을 보면 확! 올라가는 부분이 있죠 급경사가 진 부분이. 우리의 성적이 대체로 저런 형상을 띄죠

https://airsbigdata.tistory.com/109

그런 의미에서 여러분의 성적은 대표적인 비선형입니다. 여러분이 하루 공부를 했다고 해서 딱 하루 공부한 만큼 바로 성적이 조금 오르지 않잖아요? 성적은 어느 순간 정체가 되어 있다가, 여러 번 공부를 하던 것이 집적되다가 뻥 하고 포텐이 터져서 확 오르게 됩니다. 저도 그래서 수학을 2등급을 받아 본 적이 없습니다 1등급 아니면 4등급이었습니다 ㅋㅋㅋ

하지만 여러분의 내공이나 실력은 대체로 선형적입니다. 하루 정직하게 공부를 했다면, 딱 그 공부한 만큼 오를 것입니다. 단지 그것이 표출되는 시험지에서만 비선형적일 뿐이지, 여러분의 내공은 분명 차곡차곡 쌓여지고 있습니다. 근데 생각해보니 이 내공이라는 것도 좀 애매하긴 하네요. 이건 뭐 각자의 판단에 맡기겠습니다 어떤 사람은 내공이나 실력도 비선형적이라고 말할 수 있을 듯 합니다.

제가 공부하는 복잡계 네트워크도 매우 비선형적입니다. 창발적이고, 각 부분들의 합이 전체가 되질 않습니다. 각 부분들이 합해지면 각각이 따로 합해진 것에 더해서 각자가 시너지를 일으키는 것이 더더욱 합쳐져서 매우 복잡한 상호작용을 하고 그 결과가 예측하기 힘들어집니다. 복잡계 물리학에서 이런 분야를 다루는데 제가 가고자 하는 신경과학에서도 뇌의 커넥톰이라고 하여 이 부분이랑 일맥상통하여 재미있게 공부하고 있습니다.

<구글 신은 모든 것을 알고 있다> 에서 나오는 항공망 네트워크. 일명 scale free 네트워크라고도 불리며 우리에게는 '프랙탈'로 더욱 친숙한 개념들입니다

https://cafe.daum.net/hopecsi/iVYi/3

이전에 claude ai와의 대화를 통해 느낀 것이, 인문학 공부는 상대적으로 주관적이면서 직관이 중요하고 이 때문에 추상적이면서도 비선형적인 형태를 띤다고 느낀 바 있습니다. 이과와 달리 공부가 선형적이지 않고 체계적이지 않은 것이죠

흔히들 '양적 축적이 질적 팽창(변환)을 일으킨다'라는 말을 하곤 합니다. 여러분도 공부를 많이 해봐서 알겠지만, 성적은 정말 비선형적이고 어느 날 우연히 갑자기 머리에 펑 폭탄이 터지듯이 깨우침이 몰려와서 문제가 막 풀리기 시작하죠. 그간 쌓여있던 개념들이 서로 연결이 되고, 이전에 보았던 유형들끼리 서로 아구가 맞아 떨어지면서 대구를 이루면서 각자가 자신의 역할을 하고 조금씩 어렵고 복잡한 매듭이 풀리기 시작하는 것을 느끼셨을 것입니다.

특히 컴퓨터 공학자나 CEO들이 생물학이나 인문학을 강조하는 것은 그러한 천재적인 직관이나 비선형적인 통찰력, 사고력이나 상상력을 기르라고 조언하는 것 같습니다. 데이터를 분석하고 그것을 통해 뭔가 특별한 관계를 유추하거나 통찰을 하고, 새로운 의미를 부여하는 것은 step by step으로는 도저히 접근할 수 없었고 그냥 각자가 알아서 잘 생각하고 잘 풀어야 했던 경우가 많이 있습니다.

저도 여러분과 크게 다르지 않아서, <수국비>를 쓰게 된 계기도 어느 날 화학 탐구 선생님께 웃으면서 '공부를 해도 성적이 오르질 않는다'라고 말씀하시니 '니가 유형별로 대비가 안되어 있어서 그래요'라는 말을 딱! 듣고나서 모든 제 그간의 삽질과 공부 태도, 실수 등이 떠오르더니 이해가 가더군요. 그 깨달음에 화룡점정을 찍어 준 것이 바로 부산대에서 잠깐 들었던 <컴퓨팅사고력>이었고, 컴퓨터처럼 체계적으로 생각하는 방식을 배운 후 수능 국어 비문학도 수학 문제처럼 과학적이고 체계적으로 풀 수 있으며, 다른 교과목도 마찬가지로 잘 하는 방법에 대해서, 전반적인 공부에 대해서 쓰게 된 것이 바로 제 <수국비>이고 나름 제 역작이라고 생각하며 자부심이기도 합니다.

제가 전반적으로 주제를 바탕으로 계층적으로 글을 읽고 이해하는 것과, 이에 대해서 교육학과 교수님이 시스템 사고력을 말씀하신 것, 최근 통계학을 공부하면서 상관관계와 인과관계를 잘 구분하면서 함부로 서로를 뒤바꿔서 생각하지 말 것, 복잡계 네트워크에서 배운 대로 서로가 영향을 긴밀하게 주고 받기에 함부로 인과관계를 단정지을 수 없다는 것 등을 복합적으로 생각하면서 이번에 딥러닝에 대해서 공부를 하다가 claude ai한테 질문을 던졌고 아래와 같이 답변을 해주더군요. 아래의 답변을 보고 이번에 영감이 떠올라서 이번 칼럼을 작성하게 되었습니다.

Q. 아이스크림의 판매량이 증가할 때 짜증 지수가 증가해서 사소한 범죄율이 증가하자, 아이스크림이 곧 범죄율 증가로 이어진다고 판단하고 아이스크림 판매 중단을 때려버린 어이없는 웃긴 예시를 보고 인과 관계와 상관 관계를 함부로 혼동하면 안되는 것에 대한 질문

정말 훌륭한 통찰이에요! 상관관계와 인과관계의 구분, 그리고 그 속에서 의미를 찾아내는 능력은 단순한 통계적 지식을 넘어서는 것이 필요하죠.

예를 들어, 아이스크림과 짜증의 예시를 더 깊이 들여다보면:

1. 표면적 상관관계: 아이스크림 판매량 ↑ = 짜증 지수 ↑

2. 숨은 변수(hidden variable): 기온

3. 실제 관계:

- 더운 날씨 → 아이스크림 판매량 증가

- 더운 날씨 → 사람들의 짜증 증가

이런 분석을 위해 필요한 능력들:

- 시스템적 사고력: 변수들 간의 복잡한 상호작용 이해

- 인문학적 통찰: 인간 행동과 사회 현상의 맥락 파악

- 창의적 사고: 겉보기에 관련 없어 보이는 변수들의 연결 발견